Sucesión exacta

En álgebra abstracta un conjunto ${\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}}$ consistente de estructuras algebraicas (ya sea grupos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y ${\displaystyle \delta _{i}}$ morfismos (según sea la categoría) que forman un complejo de cadenas

${\displaystyle \ldots \to A_{n+1}{\overset {\delta _{n+1}}{\to }}A_{n}{\overset {\delta _{n}}{\to }}A_{n-1}\to \ldots }$

y que satisfacen

${\displaystyle {\textrm {im}}\,\delta _{n+1}={\textrm {ker}}\,\delta _{n}}$

para todas las ${\displaystyle n}$ se dice que forman una sucesión exacta.

Esto significa que todos los grupos de homología son triviales (=0). Este concepto se debe a Witold Hurewicz desde 1941.

Una sucesión exacta corta es una sucesión ${\displaystyle 0\to A{\overset {\alpha }{\to }}B{\overset {\beta }{\to }}C\to 0}$ que es exacta. Esto es lo mismo a pedir que

• ${\displaystyle \alpha }$ es inyectiva
• ${\displaystyle {\beta }}$ induce un isormofismo tal que ${\displaystyle B/\mathrm {im} ({\alpha })\cong C.}$ .
• ${\displaystyle \beta }$ es sobreyectiva.

• complejo de cadenas