Subgrupo normal

En matemáticas, un subgrupo normal o subgrupo distinguido ${\displaystyle N}$ de un grupo ${\displaystyle G}$ es un subgrupo invariante por conjugación; es decir, para cada elemento ${\displaystyle n\in N}$ y cada ${\displaystyle g\in G}$, el elemento ${\displaystyle gng^{-1}}$ está en ${\displaystyle N}$. Se denota ${\displaystyle N\triangleleft G}$.

• ${\displaystyle \{e\}}$ y ${\displaystyle G}$ son siempre subgrupos normales de ${\displaystyle G}$. Si éstos son los únicos subgrupos normales de ${\displaystyle G}$, se dice que ${\displaystyle G}$ es simple.
• Los subgrupos normales de cualquier grupo ${\displaystyle G}$ forman un retículo bajo inclusión. Los elementos mínimo y máximo son ${\displaystyle \{e\}}$ y ${\displaystyle G}$, el ínfimo de dos subgrupos es su intersección y su supremo es su yuxtapuesto.
• Todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales.
• Si ${\displaystyle N<G}$ es de índice 2 (${\displaystyle [G:N]=2}$) entonces ${\displaystyle N}$ es normal en ${\displaystyle G}$.
• El centro de un grupo es normal en el grupo.

Sea ${\displaystyle G}$ un grupo y ${\displaystyle N\triangleleft G}$. Como los conjuntos de clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden lo llamaremos simplemente conjunto de clases laterales de ${\displaystyle N}$ en ${\displaystyle G}$, y lo denotaremos ${\displaystyle G/N}$.

Podemos definir en ${\displaystyle G/N}$ la operación ${\displaystyle gN*hN=(gh)N\quad \forall g,h\in G}$ (esta operación está bien definida, ya que su definición no depende de los representantes elegidos en las clases a multiplicar).

• La proyección canónica ${\displaystyle p:G\longrightarrow G/N,\quad p(g)=gN}$ es un homomorfismo de grupos.

• Sean ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle H}$ grupos y sea ${\displaystyle f:G\longrightarrow H}$ un homomorfismo de grupos. Entonces el núcleo de ${\displaystyle f}$ es normal en ${\displaystyle G}$: ${\displaystyle \ker(f)\triangleleft G}$. De hecho, un subgrupo ${\displaystyle N<G}$ es normal si y sólo si existe un homomorfismo de grupos ${\displaystyle f:G\longrightarrow H}$ tal que ${\displaystyle \ker(f)=N}$.

• Normalizador
• Ideal de un anillo