Relación antisimétrica

Una relación binaria ${\displaystyle R}$ sobre un conjunto ${\displaystyle A}$ es antisimétrica^[1]​^[2]​^[3]​ cuando se da que si dos elementos de ${\displaystyle A}$ se relacionan entre sí mediante ${\displaystyle R}$, entonces estos elementos son iguales.

Es decir,

${\displaystyle \forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b}$

Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.

En tal caso, se dice que ${\displaystyle R}$ cumple con la propiedad de antisimetría.

La aplicación de cualquier relación ${\displaystyle R}$ sobre un conjunto ${\displaystyle A}$, se representa con el par ordenado ${\displaystyle (A,R)}$.

Sea ${\displaystyle R}$ una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto ${\displaystyle A}$, entonces ${\displaystyle R}$ tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

• Como pares ordenados, ${\displaystyle \forall a,b\in A,\ (a,b)\in R\land (b,a)\in R\;\Rightarrow \;a=b}$.
• Como matriz de adyacencia ${\displaystyle M}$, la matriz ${\displaystyle M+M^{t}\,}$ no tiene ningún 1 salvo, a lo sumo, en la diagonal principal.
• Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin embargo, sí podría tener bucles.

Sea ${\displaystyle A}$ un conjunto cualquiera:

• Sea ${\displaystyle (A,\geq )}$, ${\displaystyle \geq }$ ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que ${\displaystyle >\,}$ ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

• Sea ${\displaystyle (A,\leq )}$, ${\displaystyle \leq }$ ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que ${\displaystyle <\,}$ ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

• La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas, otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

Propiedades de la relación binaria homogénea: